计算机存储数值采取编码形式，常见的编码有四种：
- 原码
- 补码
- 反码
- 移码
先导概念
- 真值：即真正的数值，是带有正负号的一种数，人类可以识别。
- 机器数：将符号数值化之后的结果，计算机可以识别。
- 定点数
- 定点整数：默认小数点在数值最低位之后
- 定点小数：默认小数点在符号位与数值最高位之间
- 有符号数：最高位为符号位，次高位为数值位
- 无符号数：最高位就为数值位
原码
最简单的一种码，即真值符号化的最简单的结果，极似真值。
求数的原码很简单：
- 得到数的二进制表示形式
- 确定符号位，整数为0，负数为1
- 注意机器字长（寄存器位数），补零
在书写上，若逗号，放在了符号位和数值最高位之间，则是一个定点整数；
若小数点.放在了符号位和数值最高位之间，则是一个定点小数。
原码表示范围
注意原码的表示范围。原码表示无符号数时，表示区间与有符号数有差异。
0的原码
另注意：
0的原码有俩，因为从真值上看，+0和-0都是0，但是其机器码（原码）却有差别：
+0 —- 0,0000000B
-0 —- 1,0000000B
补码
补码的出现，首先就是为了找到一个等价于某一个数，以方便运算。
补码计算公式
关于补码公式，教材上有完整的表述，此外注意二进制数的两种特殊形式：
2^n - 1 = 11…1
2^n = 100…0
补码的二义性
由于补码对定点整数和定点小数的公式不同，因此，以-1为例，-1作为定点整数和定点小数时，会得到两种不同的结果！具体按公式来。
补码和原码的对比现象
一个负数的原码从它的低位算起，
①遇到第一个“1”时，原码与补码是相同的。
②超过这个“1”直至符号位之间的那段数位，原码与补码是相反的。
求补码快捷方式
- 对于正数，其补码和原码一致
- 对于负数，其补码由原码除符号位外，各位取反，然后末尾加一，得到
- 已知某真值的补码，求其相反数的补码，则将包括符号位在内的补码，各位取反，末尾加一，得到
反码
移码
移码公式
移码公式说白了，就是将真值往高位方向移动一定的数值，主要用于需要对数据进行大小比较的场合。
如果真值有n位，就在真值基础上加上100…0（n个0）即可。
定点数与浮点数的表示
定点数
浮点数
借助数学中的科学记数法，将浮点数转化为定点数。
一个浮点数可以表示为： N = M × R^E
其中，
- M称为尾数，一般取一个定点小数
- R称为基值
- E称为阶码
规格化表示
为了利用尾数所占的二进制数位来表示最多的有效数字，浮点数一般采用“规格化形式”：
也即尾数绝对值的最高位必须为1，即尾数绝对值必须大于或者等于1/R。
当规格化过程中，浮点数阶码小于最小阶码时，称发生“下溢”。
浮点数的表示范围
以原码表示，分析即可。
最大正数
最小正数
最大负数
最小负数
长实数与实数
长实数：64位浮点数
实数：32位浮点数
定点数的运算
逻辑运算
移位运算
明确两个概念：
算术移位：有符号数的移位
逻辑移位：无符号数的移位
算术移位规则
算术移位
最首要的规则，就是符号位不变。
- 对于正数，原码、补码、反码的移位只需补0即可
- 对于负数
- 原码，左移右移均补0
- 补码，左移补0，右移补1
- 反码，左移右移均补1
逻辑移位
由于逻辑移位处理的是无符号数，所以相对而言比较简单，规则就是：
移出的空位均补0
加法与减法运算
补码的引入，使得定点数的加、减运算都被统一成了加法运算，所以对于加减运算，我们都采取补码形式。
此外，补码运算也不需要单独处理符号位，它在运算过程中自然形成，这样一来大大简化了硬件设计。
公式
[X + Y]补 = [ X ]补 + [ Y ]补
[X - Y]补 = [ X ]补 + [ -Y ]补
对于整数，结果需要对2^(n+1)取模；
对于小数，结果需要对2取模。
也即对超出字长的数位丢弃。
公式的证明
分四种情况来证明即可，分类讨论，注意运用补码公式（含取模）！
溢出
导致溢出的原因，就是计算机字长是固定的，数值位最高位产生的进位1被字长最高位吸收，而这个“1”属性本来是数值，而现在却被当做了符号。
同号操作数相加时，可能“溢出”；
异号操作数相加时，绝对不会“溢出”。
溢出的判断
两个数符号相同，而结果的符号不同，这时一定发生了溢出。
硬件实现：最高有效位的进位 和 符号位的进位作异或操作，若结果为1，则溢出了。
双符号位判断法：符号位由原来的一位变成了两位，操作之后，若双符号位取值不同，表示发生了“溢出”。
乘法操作
笔算乘法的改进过程
首先，对于乘积式A×B，约定A为被乘数，B为乘数。
定义两种说法：部分积与单次乘数。
部分积：是指每一次乘法得到的结果，最后的积由每一个部分积累加而成。
单次乘数：每一次取B的一个数位，这个数位上的数就是单次乘数。
过程大致如下：
- 初始状态，部分积为0；
- 取B的最低位作为乘数，与A相乘后的结果（要么是0要么是A）与部分积相加，更新部分积；
- 部分积连同B一起右移一位（即部分积的最低位移到乘数的最高位，乘数的最低位丢失），重复第2~3步即可。
从硬件实现角度看，完成整个乘法需要三个寄存器（分别存放被乘数、乘积的高位、以及乘数和乘积的低位），一个全加器和其他相应的电路。
原码的一位乘法
符号位：被乘数和乘数的符号位作异或操作；
数值位：按照上述笔算乘法的改进过程即可。
原码的二位乘法
补码的一位乘法
乘数为正数时，两数积的补码等于补码的积。
这里的加、移位操作都必须按照补码的规则来！
乘数为负数时，公式有些许不同。
运算过程大体与之前的一致。
除法
原码的除法
- 商的符号位单独处理（异或）
- 商的数值部分为绝对值相除
对于A÷B，我们以下的被除数，除数都是在原题基础上不考虑符号位的无符号数。
不恢复余数法：
- 初始状态商为0，被除数为A；
- 用被除数减去除数，也就是加上除数的相反数的补码，如果结果（即余数）为正，上商1，否则上商0（均在当前商的最低位）；
- 如果上一步得到的余数为负数，那么需要加上除数，以将余数恢复为一个正数，如果为正数直接进行下一步了；
- 将得到的余数逻辑左移，同时当前的商也左移，重复第2~4步。
