李华想要去旅游。他有三个意向去处：苏杭、桂林、北戴河。该如何选择呢？
一个简单的栗子
我们从这个很简洁的栗子看起。为了比较这三个旅游景点哪个对于李华而言最好，肯定就需要确定该比较哪几个方面。一般对于这类评价型问题，我们需要查阅资料、广泛讨论，综合多方面的说法，选取几个有代表性的指标作为比较项。比如，我们就选择五个指标进行比较：
景色、花费、居住、饮食、交通。
权重的产生
得到判断矩阵
对于问题中给出的不同指标在评价者心中的“重要性”，我们需要给出它们的权重。首先，需要将这种定性的“重要性”进一步量化成不同的“标度”：
| 标度 | 含义 |
|---|---|
| 1,3,5,7,9 | 表示两个因素相比，一个因素比另一个同等/稍微/明显/强烈/极端重要 |
| 2,4,6,8 | 上述标度的中值 |
| 倒数 | 互逆的说法 |
以一个栗子进行说明各个量化指标：
| 景色 | 花费 | 居住 | 饮食 | 交通 | |
|---|---|---|---|---|---|
| 景色 | 1 | 1/2 | 4 | 3 | 3 |
| 花费 | 1 | 7 | 5 | 5 | |
| 居住 | 1 | 1/2 | 1/3 | ||
| 饮食 | 1 | 1 | |||
| 交通 | 1 |
为了进一步规范讨论，我们称上面这张表为一个矩阵，它就是层次分析法中的判断矩阵；记该矩阵为A，每一个位置上对应的元素为$a_{ij}$，有如下简单的性质：
- $a_{ij}表示，指标i与指标j相比，i的重要程度$；
- 当i=j时，两个指标相同，同等重要；
- 对于所有的元素$a_{ij}$，满足$a_{ij} > 0且a_{ji}×a_{ij}=1$，这样的矩阵为正互反矩阵。
权重的计算
也就是说，在得到判断矩阵之后，我们就可以计算出权重了。
各项得分的产生
打分表
接下来，需要对各个旅游景点，在选定的五个指标上给予定量的评定——打分。打分表形状如下：
| 指标 | 权重 | 北戴河 | 苏杭 | 桂林 |
|---|---|---|---|---|
| 景色 | ||||
| 花费 | ||||
| 居住 | ||||
| 饮食 | ||||
| 交通 |
对于各项的得分，我们可以使用和权重的产生同样的方法——两两比较得出判断矩阵：
| 景色 | 苏杭 | 北戴河 | 桂林 |
|---|---|---|---|
| 苏杭 | |||
| 北戴河 | |||
| 桂林 |
通过问答形式，我们可以将判断矩阵填充完毕。
注意：在填写上面的判断矩阵时，有一个易忽视的易错点：对于判断矩阵中的元素$a_{ij}=\frac{第i项的重要程度}{第j项的重要程度}$, $a_{jk}=\frac{第j项的重要程度}{第k项的重要程度}$,因此我们一定有$a_{ik}=\frac{第i项的重要程度}{第k项的重要程度}=a_{ij}×a_{jk}$。满足这个条件的矩阵，称为一致矩阵。
（表）矩阵是一致矩阵，当且仅当：
- $\forall a_{ij}, a_{ij}>0$
- 对角线上的每一个元素都为1
- 各行（或者各列）之间成比例
一致矩阵的性质：由线性代数知识可得，由于一致矩阵A各行（各列）成比例，r(A)=1，A有一个特征值为n，其余均为0，且特征值n对应的特征向量为$k(\frac{1}{a_{11}}, \frac{1}{a_{12}}, …, \frac{1}{a_{1n}})^T$（k不为零）。
一致性检验
注意，使用判断矩阵求权重之前，必须对其进行一致性检验。我们从特征值角度给出一个检验标准。
引理：记n阶 正互反矩阵A的最大特征值为$\lambda _m$，则A为一致矩阵当且仅当$\lambda_m = n$；且如果A为非一致矩阵，必有$\lambda_m>n$。
换言之，通过比较待检验矩阵的特征值和n之间的距离，可以判定其一致性。步骤大体如下：
- 计算一致性指标CI，$CI=\frac{\lambda_m-n}{n-1}$；
- 查找对应的平均随机一致性指标RI；
- 根据CI、RI得出一致性比例：$CR=\frac{CI}{RI}$；
当CR<0.1时，认为判断矩阵的一致性可以接受，否则需要纠正。
量化得分的计算
这一部分主要是根据得到的一致矩阵，得出每一项的量化得分。
注意，其实这里的“苏杭”“北戴河”“桂林”都是评价对象，在“景色”这一指标上的得分，也可以看作“权重”。为了和指标与指标间的权重以示区别，下面我们将评价对象在同一指标上的“权重”改称“得分”。
| 景色 | 苏杭 | 北戴河 | 桂林 |
|---|---|---|---|
| 苏杭 | 1 | 2 | 4 |
| 北戴河 | 1/2 | 1 | 2 |
| 桂林 | 1/4 | 1/2 | 1 |
首先，需要对一致矩阵归一化处理。即计算每一个元素占当前列的所有元素之和的比例，去替换原来的元素。比如1/（1+0.5+0.25）替换$a_{11}$等。
接下来，我们来看看求权重的方法：
- 算术平均法
- 几何平均法
- 特征值法
算数平均法、几何平均法比较直观，都是首先归一化之后计算各自的平均值；下面介绍一下特征值法，它也是被广泛使用的权重求解方法。
实际建模过程中，我们得到的矩阵M很可能并不是一致矩阵，但是只要其一致性可以接受，我们就可以仿照一致矩阵权重的求法，来得到每一个评价对象的得分。
- 求出矩阵M的最大特征值以及其对应的特征向量；
- 对求出的特征向量进行归一化处理，得到得分。
具体的结果不再赘述。下面我们正式介绍层次分析法。
层次分析法
我们直接来看看层次分析法的步骤：
分析系统中各因素之间的关系，建立系统的递阶层次结构：
- 目标层（选择哪个旅游景点）
- 准则层（找出了景色、花费等五个考量指标）
- 方案层（苏杭、北戴河、桂林三个选择方案）。
这些层次结构图需要被放在论文中加以说明。
构造判断矩阵：
判断矩阵用于计算各个指标的权重。
构造评价对象关于各个评价指标的得分矩阵，并进行一致性检验
计算每一个评价对象的综合得分
