198.打家劫舍

问题

传送门：https://leetcode.cn/problems/house-robber/?envType=daily-question&envId=2023-09-16

你是一个专业的小偷，计划偷窃沿街的房屋。每间房内都藏有一定的现金，影响你偷窃的唯一制约因素就是相邻的房屋装有相互连通的防盗系统，如果两间相邻的房屋在同一晚上被小偷闯入，系统会自动报警。

给定一个代表每个房屋存放金额的非负整数数组，计算你 不触动警报装置的情况下 ，一夜之内能够偷窃到的最高金额。

示例 1：

输入：[1,2,3,1]
输出：4
解释：偷窃 1 号房屋 (金额 = 1) ，然后偷窃 3 号房屋 (金额 = 3)。
     偷窃到的最高金额 = 1 + 3 = 4 。

示例 2：

输入：[2,7,9,3,1]
输出：12
解释：偷窃 1 号房屋 (金额 = 2), 偷窃 3 号房屋 (金额 = 9)，接着偷窃 5 号房屋 (金额 = 1)。
     偷窃到的最高金额 = 2 + 9 + 1 = 12 。

思路：动态规划

不妨尝试按照经典的动态规划解题方法思考一下：设置一个$dp$数组，$dp[i]$表示在偷取$nums[i]$前提下，能够偷取到的最大金额。那么如何进行状态转移呢？也就是说，在已知$dp[0],dp[1],\cdots,dp[i-1]$时，如何求出$dp[i]$？我们知道的是，任何两间相邻的屋子不能够同时失窃，因此上一个被偷取的屋子编号只可能是$0,1,\dots,i-2$，而究竟是哪一个，则取决于该范围内数组$dp$中的最大者。

边界条件

初始情况需要额外考虑，即考虑$dp[0],dp[1]$，这两种情况也很简单，仅偷取对应的屋子即可，即

$$dp[0] = nums[0], dp[1] = nums[1]$$

状态转移

综上，状态转移方程为

$$dp[i] = \begin{cases} nums[0], \ & i=0 \\ nums[1], &i = 1 \\ \displaystyle nums[i] + \max_k dp[k],0\leqslant k \leqslant i-2, &i \geqslant 2 \end{cases}$$

代码

class Solution {
public:
    int rob(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        if(n == 1)  return nums[n-1];
        int dp[1005];
        memset(dp, 0, sizeof(dp));
        int i, j;
        dp[0] = nums[0];
        dp[1] = nums[1];
        int ans = max(dp[0], dp[1]);
        for(i=2; i<n; i++) {
            for(j=0; j<i-1; j++) {
                dp[i] = max(dp[i], dp[j] + nums[i]);
            }
            ans = max(ans, dp[i]);
        }
        return ans;
    }
};

另解

上面的动态规划思路可以求出偷取的房间编号，只需额外设置一个存储上一个偷取的房间编号的数组即可。接下来介绍另一种时间复杂度更低的动态规划思路，但是它不能求出具体的偷取的房间。

我们用$dp[i]$表示在$nums[0:i]$中可以偷取到的最大金额。那么，在考虑第$i$间房屋时，有两个选项：

• 偷取$nums[i]$，这样的话$nums[i-1]$不能偷取，于是$dp[i]=dp[i-2]+nums[i]$；
• 不偷取$nums[i]$，这样的话，可以考虑偷取$nums[i-1]$，于是$dp[i]=dp[i-1]$；

于是状态转移方程即为

$$dp[i] = \begin{cases} nums[0], \ & i=0 \\ \max\{ nums[0],nums[1] \}, &i=1 \\ \max\{ dp[i-2]+nums[i], dp[i-1] \}, & i\geqslant 2 \end{cases}$$

显然，这个算法的时间复杂度为$\mathcal{O}(n)$。

赏