第二型曲线积分

在第九章，我们已经学习了多元函数积分学——二重积分、三重积分、第一型曲线积分、第一型曲面积分等等，这些都是不涉及方向的曲线、曲面等几何体上的积分；而在第十章，我们扩大了函数的范围，扩大到了向量场的有向曲线和有向曲面上。

本章的主要内容包括：

一、向量函数与向量场

二、第二型曲线积分的计算

知识点1：化定积分计算

三、格林公式

知识点2：格林公式的内容与理解

知识点3：灵活使用格林公式

四、积分与路径无关

知识点4：求全微分的原函数、解全微分方程

一、向量函数与向量场

向量函数

我们之前学过数量函数，它们相当于“数量”，不带有方向；此处的向量函数，通俗理解，他们

• 既是“向量”，具有向量的表示形式：$\mathbf{x}=\{a,b,\dots\}$；
• 也具有函数的特征——每一个维度上都是一个独立的数量函数：$\{f(M), g(M), \dots \}$，$M$为一点；

因此表示为向量函数 $\mathbf{F}(M)=\{ f(M), g(M), \dots \} $。

以空间中的向量函数为例：

$$\begin{aligned} \mathbf{F}(x,y,z) &= P(x,y,z)\mathbf{i}+Q(x,y,z)\mathbf{j}+R(x,y,z)\mathbf{k}\\\\ &= \{ P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z) \} \end{aligned}$$

向量函数的导数

简单点说，对向量函数求导，就是对每一个维度上的数量函数分别求导。同样地，以上面的空间中向量函数为例，有

$$\frac{\partial \mathbf{F}}{\partial x} = \left\{ \frac{\partial P}{\partial x}, \frac{\partial Q}{\partial x}, \frac{\partial R}{\partial x} \right\}$$

几个微分关系

曲线$C$为空间上的一条曲线，$ds$为弧微分，则有

$$\begin{cases} dx=ds·\cos\alpha \\ dy=ds·\cos\beta \\ dz=ds·\cos\gamma \end{cases}$$

事实上，$ds$可以看做空间上一条很短的直线：

$$ds=\sqrt{(dx)^2+(dy)^2+(dz)^2}$$

若$x=x(t),y=y(t),z=z(t)$，则有

$$ds=\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2+(z'(t))^2}dt$$

二、第二型曲线积分

第二型曲线积分的概念

这里引入一个实际例子——变力作功。

需要注意第二型曲线积分的记号和形式：

$$\begin{aligned} d\mathbf{r}&=\{ dx,dy \} \\\\ \mathbf{F}&=\{ P(x,y),Q(x,y) \}\\\\ \int_l \mathbf{F}d\mathbf{r}&=\int_l\{ P(x,y),Q(x,y) \}·\{ dx,dy \} \\\\ &= \int_lP(x,y)dx+Q(x,y)dy \end{aligned}$$

二型积分的性质

知识点1：化定积分计算

第一种计算方式，就是将第二型曲线积分转化为定积分的计算（证明用到了拉格朗日中值定理，将第二型曲线积分的和式的极限恰好转化为了定积分和式的极限）。

具体做法：

1. 将曲线的参数方程代入到被积表达式中，
2. 曲线起点对应的参数为定积分下限，终点参数对应定积分上限，
3. 就化为了定积分运算。

看道例题：

例1 求$\displaystyle \int_C ydx-xdy$，$C$为平面区域边界$D$的闭曲线，方向为逆时针，其中

$$D:\begin{cases} 0 \leqslant x \leqslant 1 \\ 0 \leqslant y \leqslant 2 \end{cases}$$

记

$$C_1:y=0,(0,0)\to(1,0) \quad C_2: x=1, (1,0)\to(1,2) \\ C_3:y=2,(1,2)\to(0,2) \quad C_4: x=0, (0,2)\to(0,0)$$

由二型积分可加性得

$$\begin{aligned} \int_C ydx-xdy &= \int_{C_1} ydx-xdy + \int_{C_2}ydx-xdy + \int_{C_3}ydx-xdy + \int_{C_4}ydx-xdy \\\\ &=0 + \int_0^2-1dy+\int_1^02dx \\\\ &= -4 \end{aligned}$$

例2

求积分$\displaystyle \int_Cydx+2xydy,C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，方向为顺时针方向。

解：

得出曲线的参数方程$x = a \cos t, y = b\sin t$,

代入被积表达式中得到：

$\displaystyle \oint b\sin t da\cos t + 2a\cos tb\sin t db\sin t$,积分下限是起点参数0，积分上限是终点参数-2π（顺时针方向）

接下来按照定积分计算即可。

例3

计算$\displaystyle \int_C ydx$，其中$C:r=1-\cos \theta (0\leqslant \theta \leqslant \pi)$，由$(0,0)$到$(2,\pi)$。

首先做极坐标变换

$$\begin{cases} x=r\cos\theta=(1-\cos\theta)\cos\theta \\ y=r\sin\theta=(1-\cos\theta)\sin\theta \end{cases}$$

由此得到参数方程，代入被积表达式可得

$$\begin{aligned} &\int_0^\pi(1-\cos\theta)\sin\theta d(1-\cos\theta)\cos\theta \\\\ =& \int_0^\pi(1-\cos\theta)\sin\theta(\cos\theta-\cos^2\theta)'d\theta \\\\ =&-\frac{3\pi}{4} \end{aligned}$$

第二型曲线积分与第一型曲线积分的关系

实际上，根据弧微分和坐标微元之间的关系，可以很快得到结果：

$$ds=dx\cos\alpha$$

我们回到最初第二型曲线积分的例子：

$$\int_C\mathbf{F}d\mathbf{r}=\int_CPdx+Qdy+Rdz,\quad \mathbf{F}=\{P, Q, R\}$$

将曲线$C$用参数方程表示出来，即

$$C:\begin{cases} x=x(t) \\ y=y(t) \\ z=z(t) \end{cases}, t:\alpha_0\to\beta_0$$

曲线$C$上参数$t$对应的点处，与$t$增加方向一致的切向量为$\{ x’(t),y’(t),z’(t) \}$，进而得到方向余弦

$$\cos\alpha=\frac{\pm x'(t)}{\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2+(z'(t))^2}}$$

对于二型积分，只考虑$Pdx$项，变形得

$$\begin{aligned} \int_CPdx &= \int_{\alpha_0}^{\beta_0}Px'(t)dt \\\\ &= \int_{\alpha_0}^{\beta_0}P\cos\alpha \sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2+(z'(t))^2}dt \\\\ &=\int_{\alpha_0}^{\beta_0}P\cos\alpha ds \end{aligned}$$

这就是从第二型曲线积分$\displaystyle \int_C Pdx$转化得到了第一型曲线积分$\displaystyle \int_{\alpha_0}^{\beta_0}P\cos\alpha ds$。

三、格林公式

知识点2：格林公式的内容与理解

格林公式的三个前提：

1. 平面上的闭区域D；
2. P、Q在D区域上都具有连续的一阶偏导数；
3. 格林公式默认计算的是闭曲线的正向。

• 公式的理解：

从左向右看，格林公式提供了又一条计算二型积分的途径，它将第二型曲线积分转化为了一个闭区域上的二重积分。

从右向左看，格林公式也提供了一种计算二重积分的途径，思路是将二重积分转化为第二型曲线积分后，再使用参数方程转为定积分的计算。

• 公式的适用条件：

我们知道的是，二重积分一般来说也不简单计算，因此我们需要先验一下右侧被积表达式的简洁性，若它的形式较为简单，就可以用格林公式了，转为二重积分后，再使用柱坐标、球坐标或者一般的解法。

值得注意的是公式本身的条件：

1. 必须是平面上的闭区域。若不是，可以考虑补线（与坐标轴垂直的线段，方便计算，因为可以保证一个坐标分量为常数，对该坐标分量的积分就为0）。
2. P、Q要在闭区域上具有连续的一阶偏导数。这一点验证起来通常比较麻烦，但是目前我们所知的是所有的初等函数在其定义域内都满足这个条件。我们着重考虑分母为零的情况（函数自然没有连续的一阶偏导数），此时“挖”去包含这一点的闭区域，然后利用格林公式。
3. 曲线的正向还是负向很好处理，添加负号即可反向。

知识点3：灵活使用格林公式

例4

分析：贸然求导会很麻烦，观察给出的闭曲线方程，正好得出分母其实就等于1，而第二型曲线积分中被积表达式中的变量均满足积分路径方程，可以替换而不影响正确结果。化简之后，再使用格林公式。

例5

分析：我们发现虽然可以仍用最开始的化定积分的方法，但是计算起来太复杂了，因此还是考虑格林公式。

• 可以小结一下使用格林公式的解题步骤：

1. 是否可以对比较复杂的被积表达式作出化简
2. 预先计算化简后的两个偏导数，看看方不方便利用格林公式
3. 判断满不满足格林公式的使用条件
4. 不满足则作出变换，比如补线
5. 在满足条件后，使用格林公式
6. 计算原被积表达式的积分（去掉补的线）

例6

解：

首先也是计算两个偏导数：

发现结果很简单，居然是0，因此这一题用格林公式一定很简单，下面就需要验证三个前提了：

曲线C为椭圆，当然围成了一个闭区域；但是P、Q在该闭区域内部的(0, 0)点根本没有定义，更别说一阶偏导数了。因此，要用格林公式，就需要在不考虑该点的情况下使用，所以就需要补闭曲线C0，同时C0上的积分需要便于计算；因此就想到补圆（去分母）C0：,其方向为了和题中曲线给的逆时针对应，所以为顺时针方向，两者构成的复连通域即为正向。

最后还需要计算补的圆上的二型积分，此时体现出来了这样补线的优势（直接去掉了分母简化了形式，也可以利用格林公式）

例7

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四、积分与路径无关

求， 积分曲线C分别为：

1）; 由（0,0）到（1,1）；

2) , 由（0,0）到（1,1）；

3）, 由（0,0）到（1,1）；

…

它们的结果都等于1。

我们会发现，当被积表达式满足一定的条件的时候，这个积分就与积分路径无关了，换言之，也许题目给了一条很复杂的曲线作为积分路径，但是我们可以直接换成一条最简单的路径求积分，结果是不变的。

以上用数学语言表述为：

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• 判定方法

当然我们也需要注意积分与路径无关定理的使用前提。

目前我们不可能根据定义来判定积分与路径无关，只能寻求更加直接、容易操作的判定方法。请看书中给出的四个等价命题：

编辑

可以看出，实际上，第4个命题才是最容易实现的判定方法，即我们在拿到一道题目时，可以预先计算出两个对应的偏导数，若它们相等，则积分与路径无关成立。

• 具体操作

1. 预先计算两个偏导数
2. 成立，则选取与坐标轴垂直的折线路径计算（此时转化为了很简单的定积分计算）

应用解题：

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• 利用积分与路径无关求二型积分

例

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OB：x = x, y = 0; BA: x = , y = y.

• 知识点4：求全微分的原函数、解全微分方程

先提一提原函数与全微分的概念（以二元函数为例）

若存在一个二元函数u(x, y)使得 ,则

称 为一个全微分，

称u(x, y)为 的一个原函数，

称 = 0为一个全微分方程。

编辑

例

编辑

按照题意，两个偏导数恒相等即可求出a的值。

编辑

例

解方程编辑

首先判断出来，这是一个全微分方程，然后利用定理求出原函数，注意最后给原函数加上一个常数，得到的才是最终的通解。

编辑

总结

以上差不多就是第二型曲线积分的全部内容，主要就是在讲如何计算第二型曲线积分，以及对格林公式、积分与路径无关定理的理解与运用。

其中，计算第二型曲线积分，我们已经知道的方法有三种：

1. 最基本的方法：化成定积分计算
2. 使用格林公式，化成二重积分
3. 积分与路径无关，换积分路径

第一种方法，最基本、直接，但是有多情况下难以求出参数方程，即使求出了参数方程，代入后使得被积表达式异常复杂；

第二种方法，最重要、方便，往往题目不会允许我们直接使用，而是需要变换一下才可以使用格林公式，其次就是二重积分的底子也是需要的；

第三种方法（其实本质上说，第三种方法可以转化为第二种方法），换成折线段分开积分，计算起来一般很简单。

而对于求解全微分方程，这部分内容与微分方程一章联系紧密，用到的却是二型积分的方法，牢记公式套用即可。

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